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27th
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La teoria dei numeri primi

In generale la teoria dei numeri è un ramo della matematica che studia le proprietà dei numeri.

Nella teoria definita dei “numeri elementare” rientrano l’algoritmo di Euclide, la divisibilità, lo studio dei numeri perfetti, la fattorizzazione (ovvero trovare un insieme di numeri tale che il loro prodotto sia il numero dato).

Risalendo ai tempi dell’antica Grecia già la scuola pitagorica aveva come interesse primario lo studio dei numeri interi e le loro proprietà, che erano considerate propedeutiche alla spiegazione di molti fenomeni naturali.

Infatti, furono essi a definire i cosiddetti numeri perfetti (ovvero quei numeri uguali alla somma dei loro divisori escluso il numero stesso, es. 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; ecc.) ed i numeri “triangolari”, “quadrati”, “pentagonali” o in generale i numeri che possono essere rappresentati da una disposizione di punti avente la forma di un poligono regolare e studiarne le proprietà.

 

Gli Elementi di Euclide (che rappresentano la più importante opera di carattere matematico dell’antica Grecia), contengono la dimostrazione dell’esistenza di infinti numeri primi e l’algoritmo euclideo per calcolare il massimo comune divisore di due interi (ovvero il numero naturale più grande per il quale possono essere divisi MCD (12, 18) = 6.

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Il crivello di Eratostene è l’esempio di un altro grande risultato ottenuto dai greci, altro non è che una tecnica semplice ed efficace per determinare i numeri primi (vengono scritti in forma tabellare tutti i naturali a partire da 2 fino a n, successivamente vengono cancellati tutti i multipli del primo numero escluso se stesso, si prosegue sino alla fine della tabella, ciò che rimane sono i numeri primi).

Della teoria dei numeri l’opera più importante di tutto il periodo greco è l’Aritmetica di Diofanto che in qualche modo sancisce l’origine di questa scienza. In essa vengono risolte molte equazioni in più variabili a coefficienti interi, dette equazioni diofantee. Un classico esempio di equazione diofantea è l’equazione pitagorica x2 + y2 = z2, in cui la soluzione generale è data dalle formule:

x = m2 – n2; y = 2mn; z = m2 + n2 con m e n interi.

In Europa l’interesse per la teoria dei numeri conobbe una ripresa nel seicento con la pubblicazione dei libri (traduzione latina) dell’Arithmetica di Diofanto.

Nel seicento Fermat considerato il padre della teoria moderna dei numeri, scrisse numerovoli note ed osservazioni  nell’edizione della Arithmetica di Diofanto, senza però darne dimostrazione.

Proprio nell’ambito di una di queste osservazioni la più famosa (quella che lo rese famoso) fu il teorema di Fermat che a differenza dell’equazione pitagorica, l’equazione xn + yn = zn non possiede soluzioni intere per ogni n maggiore o uguale a 3.

La dimostrazione che Fermat riteneva di possedere  non fu mai ritrovata fra le sue carte, finché nel 1994 non fu dimostrata da Andrew Wiles.

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In generale la teoria dei numeri è un ramo della matematica che studia le proprietà dei numeri.

Nella teoria definita dei “numeri elementare” rientrano l’algoritmo di Euclide, la divisibilità, lo studio dei numeri perfetti, la fattorizzazione (ovvero trovare un insieme di numeri tale che il loro prodotto sia il numero dato).

Risalendo ai tempi dell’antica Grecia già la scuola pitagorica aveva come interesse primario lo studio dei numeri interi e le loro proprietà, che erano considerate propedeutiche alla spiegazione di molti fenomeni naturali.

Infatti, furono essi a definire i cosiddetti numeri perfetti (ovvero quei numeri uguali alla somma dei loro divisori escluso il numero stesso, es. 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; ecc.) ed i numeri “triangolari”, “quadrati”, “pentagonali” o in generale i numeri che possono essere rappresentati da una disposizione di punti avente la forma di un poligono regolare e studiarne le proprietà.

Gli Elementi di Euclide (che rappresentano la più importante opera di carattere matematico dell’antica Grecia), contengono la dimostrazione dell’esistenza di infinti numeri primi e l’algoritmo euclideo per calcolare il massimo comune divisore di due interi (ovvero il numero naturale più grande per il quale possono essere divisi MCD (12, 18) = 6.

Il crivello di Eratostene è l’esempio di un altro grande risultato ottenuto dai greci, altro non è che una tecnica semplice ed efficace per determinare i numeri primi (vengono scritti in forma tabellare tutti i naturali a partire da 2 fino a n, successivamente vengono cancellati tutti i multipli del primo numero escluso se stesso, si prosegue sino alla fine della tabella, ciò che rimane sono i numeri primi).

Della teoria dei numeri l’opera più importante di tutto il periodo greco è l’Aritmetica di Diofanto che in qualche modo sancisce l’origine di questa scienza. In essa vengono risolte molte equazioni in più variabili a coefficienti interi, dette equazioni diofantee. Un classico esempio di equazione diofantea è l’equazione pitagorica x2 + y2 = z2, in cui la soluzione generale è data dalle formule:

x = m2 – n2; y = 2mn; z = m2 + n2 con m e n interi.

In Europa l’interesse per la teoria dei numeri conobbe una ripresa nel seicento con la pubblicazione dei libri (traduzione latina) dell’Arithmetica di Diofanto.

Nel seicento Fermat considerato il padre della teoria moderna dei numeri, scrisse numerovoli note ed osservazioni nell’edizione della Arithmetica di Diofanto, senza però darne dimostrazione.

Proprio nell’ambito di una di queste osservazioni la più famosa (quella che lo rese famoso) fu il teorema di Fermat che a differenza dell’equazione pitagorica, l’equazione xn + yn = zn non possiede soluzioni intere per ogni n maggiore o uguale a 3.

La dimostrazione che Fermat riteneva di possedere non fu mai ritrovata fra le sue carte, finché nel 1994 non fu dimostrata da Andrew Wiles.



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