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Louis Augustin Cauchy

 

La matematica nel sei/settecento aveva fatto grandi passi in avanti, soprattutto con Eulero, con Legendre, Laplace e Lagrange.

In generale, però, gli studi matematici del Settecento non sono sistematici, ma si basano piuttosto su metodi empirici: “prima dell’introduzione del rigore matematico, l’analisi era un pantheon di falsi dei, e Cauchy, con Gauss ed Abel, li abbatté, facendo opera di grande pioniere” (Bell).

I matematici del secolo dei lumi avevano sviluppato tutte le procedure dell’analisi, il metodo degli infinitesimi, gli sviluppi in serie, il passaggio dai numeri reali a quelli complessi basandosi su ragioni fondate sulla generalità dell’algebra, quasi questa fosse sempre e comunque applicabile. Questa prassi era divenuta un principio metafisico, basato sulla convinzione illuministica dell’infallibilità del pensiero umano. Dal punto di vista del rigore matematico, questo modo di procedere era assolutamente discutibile, tanto che portò spesso a risultati scorretti.

Cauchy, in questo concordando con Lagrange e Laplace, pensava che l’analisi non dovesse essere presentata in modo “semplice” ed esclusivamente orientata alle sue applicazioni ingegneristiche, come invece pretendeva l’Ecole Polytechnique. Pensava che l’analisi dovesse essere sviluppata in modo più generale e più rigoroso, in modo da potersi applicare facilmente ai campi più disparati.

Nel 1816 Von Haller, a proposito della Restaurazione, scriveva:  “I Re legittimamente unti hanno riguadagnato i loro troni”. Cauchy pensava che si dovesse sviluppare una scienza “legittima”, di verità universale e di servizio al Signore. E a proposito della verità, Cauchy affermò: “ La verità è un tesoro inestimabile che, quando riusciamo ad acquisirla, non può portarci rimorso o dolore; non può rendere inquieta o insoddisfatta la nostra anima. Il solo pensiero dei suoi attributi celesti, della sua bellezza divina è sufficiente per ripagarci di tutti i sacrifici che possiamo avere fatto per scoprirla. In realtà, la gioia stessa del paradiso non è nient’altro che il pieno e completo possesso della verità” ed aggiungeva “ Qui sulla terra la verità non sarà mai completamente rivelata“.

Cauchy distingueva tra due ordini di verità:

  • Verità fiolosofico/morali: le verità proprie della Rivelazione, il cui insegnamento andava lasciato a coloro che egli riteneva a questo deputati: i sacerdoti ed i religiosi.
  • Verità scientifiche. Queste erano verità “conquistate”, non rivelate. A questo proposito infatti affermava:
    La ricerca della verità dovrebbe essere l’unico scopo di ogni scienza“.
    In questa prospettiva, considerava l’esattezza come la “caratteristica necessaria ed essenziale di ogni scienza“.

Come si vede, quindi, teneva ben distinte la verità fisica da quella metafisica.
In quest’ottica, considerava “esatte” soltanto le scienze che, pur partendo dall’osservazione dei fenomeni naturali passavano poi a darne una codifica matematica esatta, meglio se non basata soltanto sulla statistica.

Considerava le verità scientifiche come soggette a quelle morali e religiose. Invitava quindi la comunità scientifica a respingere quelle teorie che, sotto l’apparenza di verità comunque non comprovabili, contrastavano con le verità rivelate. Le verità fisico/scientifiche sono solo il substrato, il background di quelle scientifiche.

D’altra parte, Cauchy riteneva un grave pericolo quello di attribuire valore metafisico alle verità scientifiche, ed affermava: “Il grande crimine dell’ultimo secolo (il settecento) è stato quello di voler mettere la natura contro il Creatore e addirittura di armare le scienze contro Dio stesso, le scienze, il cui unico scopo è la ricerca della verità!” … Coltiviamo le scienze, ma senza cedere alla tentazione di estenderle oltre i propri confini. Non pensiamo di poter trattare la storia in termini di formule, e non cerchiamo di basare la morale su teoremi di algebra o di calcolo integrale …

Ecco uno schema interpetativo della conoscenza secondo Cauchy:

E’ da queste convinzioni che nasce l’idea del rigore matematico. Infatti, è solo grazie al rigore ed alla corretta e chiara definizione del suo campo di validità – quindi dei suoi limiti – che la matematica può essere sottratta a quella prassi illuministica che ne faceva una verità metafisica e quindi ne estendeva indebitamente i risultati, giungendo spesso a conclusioni erronee.

E’ proprio in questo campo che interverrà Cauchy, introducendo un rigore assolutamente sconosciuto fino a quel momento. E, come abbiamo cercato di mostrare, non è affatto casuale che questa importantissima svolta nel pensiero matematico sia dovuta ad uno scienziato cattolico e contro-rivoluzionario. E’ anzi proprio in virtù delle sue convinzioni che egli sviluppò quell’architettura di esattezza e precisione che è alla base della moderna analisi.

La matematica moderna deve quindi a Cauchy molte importantissime innovazioni, ognuna delle quali segna una svolta sulla via seguita dalla matematica del Settecento, tra cui l’introduzione dell’esattezza nell’analisi matematica e l’apporto fondamentale dell’analisi combinatoria. Cauchy, dunque, stabilisce il calcolo differenziale ed integrale su solide basi. Egli è il codificatore della matematica moderna per eccellenza, il matematico a cui si devono la sistematicità, l’eleganza della forma ed il rigore delle dimostrazioni.

Ecco la moderna definizione di limite (1821), codificata così come la propose Cauchy:

Quando i valori successivamente attribuiti ad una variabile si avvicinano indefinitamente ad un valore fisso in modo tale da differire da esso di una quantità tanto piccola quanto si vuole, allora quel valore fisso è detto il limite di tutti gli altri.

Analogamente, definì gli infinitesimi :

Quando i valori successivi della medesima variabile diminuiscono indefinitamente, così da diventare più piccoli di qualsiasi numero prefissato, questa variabile diviene quel che si dice un infinitesimo o una quantità infinitamente piccola. Una siffatta variabile ha zero come limite.

Ma i contributi specifici di Cauchy spaziano dal concetto di limite suddetto e agli studi rigorosissimi sulle funzioni continue, alla derivazione, all’integrazione, alle basi della modernissima teoria dei gruppi. Tale teoria elementare, ma tutt’altro che semplice, scaturisce da un modo nuovo ed originale di riguardare l’algebra, intuendo il legame, il filo conduttore che sta sotto le formule e la loro simmetrica armonia, scorgendovi il concetto generale di operazione e le leggi che ne consentono la combinazione. Questa teoria è inoltre di importanza capitale nella matematica moderna: si applica alle equazioni algebriche, alla geometria dei cristalli, allo studio della struttura atomica ed alla moderna elaborazione delle equazioni differenziali.

Cauchy giunse a porre le basi della teoria dei gruppi partendo dalle permutazioni, o meglio dalla teoria delle sostituzioni, che elaborò attorno al 1840, dalla quale scaturirà la teoria dei gruppi finiti. Grazie a questa teoria, circa vent’anni più tardi il matematico Evariste Galois riuscirà a determinare soluzioni per le equazioni di grado superiore al quarto.

Cauchy studiò, cercando di astrattizzarle, le “operazioni”. Vediamo come procedette. Indichiamo le operazioni con lettere maiuscole: A, B, C eccetera. AB significa che l’operazione A viene eseguita prima dell’operazione B. Perciò AB non è necessariamente uguale a BA. Cauchy stabilì che un insieme di operazioni formano un gruppo se:

  1. Esiste una regola applicabile ad una qualunque coppia di operazioni dell’insieme tale che la operazione risultante faccia ancora parte dell’insieme
  2. La regola di cui in 1) è associativa: A(BC)=(AB)C
  3. Esiste un’operazione I nell’insieme dato tale che per ogni operazione A dell’insieme: AI=IA=A (I è detta identità)
  4. Per ogni operazione dell’insieme esiste l’operazione inversa. AA’=I.

La teoria dei gruppi è anche alla base della moderna crittografia: la stessa che ha assunto la massima importanza durante l’ultimo conflitto mondiale.

Probabilmente, per lo scalpore che ha suscitato, ricorderete la recente dimostrazione del teorema di Fermat (“Non esiste alcun numero intero n>2 tale che xn+ yn = zn“), che ha richiesto più di 300 anni: anche questa si basa sulla teoria dei gruppi e sfrutta un gruppo che lo stesso Cauchy riconobbe come tale: il gruppo delle curve ellittiche (una curva ellittica è un insieme di punti che soddisfanno alla seguente equazione: y2 = x3+ax+b, dove a, b, x ed y sono numeri reali). Anche Cauchy tentò una soluzione per il Teorema di Fermat: vi giunse molto vicino, ma non l’ottenne. Senza i suoi studi, però, quest’annosa questione non avrebbe mai potuto essere risolta.

E ancora Cauchy si occupò brillantemente di analisi complessa, un campo in cui fu fondatore ed esploratore, particolarmente con lo studio delle funzioni di una variabile complessa e con la teoria dei residui, con gli integrali singolari e con la famosa integrazione lungo un percorso chiuso. Diede anche il suo contributo alla teoria delle trasformate di Fourier.

Si occupò anche di fisica, con la teoria delle onde e gli studi di ottica. Importantissima è la sua teoria dell’elasticità, nella quale generalizzò i risultati di Hooke.

In meccanica dei fluidi, approfondì gli studi di Navier e di Laplace, mentre per l’elaborazione della teoria della luce fu in contatto con Fresnel e diede un contributo importante introducendo i metodi dell’analisi.

Si occupò anche di astronomia, studiando le opere di Urbain Le Verrier (1811-1877) sull’asteroide Pallade e diede un contributo fondamentale dimostrando un metodo che consentiva di eseguire i calcoli astronomici ad una velocità strabiliante.

Fu il primo a dare una dimostrazione rigorosa del “teorema di Taylor” (che deve il suo nome al matematico inglese Brook Taylor, 1685-1731). Le sue scoperte matematiche troveranno applicazioni utilissime anche nel campo dell’elettromagnetismo.

La sua produzione scientifica comprende circa 800 memorie e molte opere didattiche, fra le quali:

  • “Cours d’analyse de l’Ecole royale polytechnique” (1821)
  • “Résumé des leçons données à l’Ecole royale polytechnique sur les applications du calcul infinitésimal” (1823)
  • “Leçons sur les applications du calcul infintésimal à la géométrie” (1826, 1828)
  • “Leçons sur le calcul différentiel” (1829)
  • “Anciens exercices de mathématicques” (1826-1830)
  • “Résumés analytiques” (1833)
  • “Noveaux exercices de mathématiques” (1835-1836)
  • “Noveaux exercices d’analyse et de physique mathématique” (1840-47).

Bibliografia completa utilizzata

0. B. Belhoste, Augustin-Louis Cauchy. A Biography (New York, 1991).

1. Dalla voce Augustin-Louis Cauchy, in “The Catholic Encyclopedia”, copyright © 1913 by the REncyclopedia press, Inc. Electronic version copyright © 1996 by New Advent, Inc.

2. E.T. Bell, I grandi matematici (tit. orig.: Men of Mathematics), Sansoni, Firenze 1973, pag. 274.

3. Igor Safarevic, Il socialismo come fenomeno storico mondiale, Cooperativa editoriale ‘La Casa di Matriona’, Milano 1980

4. Carl B. Boyer, Storia della matematica (tit. orig.: A history of Mathematics), Oscar Mondadori, Arnoldo Mondadori Editore, Milano 1997

5. M. T. Borgato – L. Pepe, Note Critiche di Analisi Matematica, Editrice Universitaria, Ferrara 1979

6. Gianfranco Basti, Il rapporto mente-corpo nella filosofia e nella scienza , PDUL Edizioni Studio Domenicano, Bologna 1991, pag. 204.

7. Vittorio Messori, Un italiano serio: il beato Francesco Faà di Bruno, Edizioni Paoline, Cinisello Balsamo (Milano), pag. 70.

8. https://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/cauchy.html

(School of Mathematical and Computational Sciences at the University of St. Andrews, UK. MacTutor History of Mathematics Archive, Index of /~history/Mathematicians: Augustin Louis Cauchy).

9. Enrico Giusti, Analisi Matematica, volume secondo, Libreria Scientifica Giordano Pellegrini, Pisa-1980

10. W.V. Quine, I fondamenti della matematica, SCIENTIFIC AMERICAN, Settembre 1964, in “Verità e Dimostrazione – Questioni di matematica. Presentazione di Carlo Ciliberto” – Letture da LE SCIENZE edizione italiana di SCIENTIFIC AMERICAN, Milano 1978.

11. Egmont Colerus “Piccola storia della matematica da Pitagora a Hilbert”, Einaudi, 1938

12. Simon Singh, L’ultimo teorema di Fermat, Rizzoli RCS Libri, Milano agosto 1997

13. Amir D. Aczel, L’enigma di Fermat, Il Saggiatore, Milano 1998

Ulteriori info qui

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Augustin Louis Cauchy nacque a Parigi il 21 Agosto 1789, primogenito di sei figli. Il padre Louis François, coltissimo giurista parlamentare, cattolico e monarchico, primo aiutante del Luogotenente generale della polizia di Parigi, per sfuggire alle persecuzioni della Rivoluzione Francese è costretto a trasferirsi con la famiglia nella casa di Arcueil, dove sopravvive fra grandissimi stenti.

Il padre supplì all’educazione visto che le scuole erano state chiuse dai rivoluzionari o comunque non era consigliabile frequentarle (…), sicché Augustin Louis divenne esperto in lettere, tanto da comporre poesie in latino e in francese.

Sopravvisse al vaiolo, e fu per anni sotto la continua minaccia di arresto del padre, invece alla caduta di Robespierre (27 Luglio 1794), la famiglia Cauchy ritornò a Parigi.

Pierre Simone de Laplace (1749-1827), matematico e fisico famoso ed affermato, ed il torinese Giuseppe Luigi Lagrange (1736-1813), anch’egli famoso analista e meccanico, scoprirono le qualità matematiche di Cauchy.

Così, nel 1802 entra, alla Scuola Centrale del Pantheon, dove si distingue particolarmente in greco ed in latino, scrivendo anche componimenti in versi che vincono svariati premi.

Nel 1805, a soli sedici anni, entra all’Ecole Polytechnique noto “covo” di rivoluzionari ed illuministi. Risulterà sempre fra i primi, nonostante abbia vita assai difficile a causa del clima anticlericale imperante. Il suo tutore principale alla Ecole Polytecnique sarà Ampere (il grande fisico dell’elettricità).Uno degli assistenti tutori in analisi e meccanica è Paul-Emile Teysseyre, profondamente cattolico e membro della Congregazione della Santa Vergine, fondata nel 1801 dal gesuita padre Jean-Baptiste Bourdier Delpuis, allo scopo di riunire i giovani di buona famiglia in preghiera comunitaria e unirli contro le minacce rappresentate dalla mancanza di fede, miscredenza, irreligione e secolarismo di quei tempi. Cauchy entrerà a far parte dell’associazione, che tentava di infiltrarsi nelle fila della Ecole Polytecnique, nel 1808, subito dopo avere concluso la sua esperienza alla scuola. Con lui, entrerà anche il suo amico e famoso matematico Jacques Binet[1].

Pian piano, la Congregazione mostrerà sempre più apertamente il suo aspetto cattolico sociale legittimista, contrario al governo napoleonico ed incontrerà sempre più forte il sospetto e l’avversità del regime, che ne sospenderà gli incontri e l’attività pubblica fino al 1813 (in quell’anno Cauchy, al rientro da Cherbourg, potrà riprendere a frequentare le riunioni).

Nel 1807 entra alla scuola degli ingegneri civili[2] e, nonostante la sua giovane età, si mostra subito superiore ai suoi compagni ventenni che già frequentano la scuola da due anni. Oltre alla frequentazione dei normali corsi di ingegneria, si dedica allo studio dell’inglese, del tedesco e dell’italiano[3].

Terminata la scuola di ingegneria a soli 21 anni, nonostante la sua fama di monarchico legittimista, dal governo napoleonico gli viene affidato un incarico di ingegnere militare a Cherbourg. Porta con sé tre soli libri, due dei quali di matematica (la Meccanica celeste di Laplace e il Trattato delle funzioni analitiche di Lagrange), mentre il terzo è l’Imitazione di Gesù Cristo.

Mentre svolge il suo incarico, pubblica i primi lavori, che riguardano i poliedri (dimostrando che gli angoli di un poliedro convesso sono determinati dalle sue facce [S+F=A+P+1, dove P è il numero dei poliedri, F il numero delle facce, A il numero degli spigoli e S quello dei vertici]: per questo suo primo lavoro fu incoraggiato da Legendre[4] e da Malus[5]. Malus affermò riguardo ai questi primi lavori di Cauchy: “Le prove sono rigorose e dimostrate con estrema eleganza “.

Il 22 Febbraio 1812 viene nominato corrispondente della Societe Philomatique, una prestigiosa appendice dell’Accademia delle Scienze che si occupava di matematica.

Anche nello svolgere il suo incarico di ingegnere militare si scontra con l’ostilità dell’ambiente anticattolico che lo circonda, che ne disprezza sia la coerenza politica legittimista, sia le pratiche religiose (Cauchy pregava, come è proprio di qualsiasi cristiano degno di questo nome).

Mentre decide di darsi come programma la ricerca della  verità per il resto della sua vita , il troppo lavoro ed il troppo studio (in questo periodo giungerà ad importanti risultati nella teoria dei determinanti) gli provocano uno stato di prostrazione fisico-nervosa che lo spinge a chiedere di essere trasferito a Parigi. La richiesta viene accolta ed il trasferimento diviene effettivo nel 1813: lavorerà alla costruzione del Canale d’Ourcq.

Nel frattempo, mentre ha ormai deciso che la carriera universitaria sarà l’obiettivo della sua vita professionale, sempre a causa delle sue idee contro-rivoluzionarie cattoliche e legittimiste, gli sono più volte precluse cattedre e posizioni universitarie.

Nel 1814, basandosi sui risultati di Laplace, inizia lo studio dell’Analisi, approfondendo la teoria degli integrali definiti. Nello stesso anno, godendo del favore dello stesso Laplace, da corrispondente diviene membro effettivo della Societè Philomatique, che è l’anticamera dell’Accademia delle Scienze, dove non era riuscito ad entrare perché gli era stato preferito il più anziano Ampere.

Nel luglio 1815 ritorna sul trono Luigi XVIII (1755-1824) ed ha inizio la politica di restaurazione.

In seguito alla radiazione dall’Accademia delle Scienze del rivoluzionario Gaspard Monge[6] ed alla rimozione di Carnot[7], Cauchy, dopo avere pubblicato uno studio sulle onde ed uno studio sui numeri poligonali, è nominato assistente di Analisi alla Ecole Polytecnique, dove i professori erano Ampere e Poinsot (quest’ultimo fu rimosso). Di questo periodo sono gli studi di Cauchy sulla convergenza delle serie. Ma ciò che lo rese veramente famoso da questo punto in avanti fu la soluzione di uno dei problemi proposti da Fermat sui numeri poligonali (1601-1665, grande geometra e studioso della teoria dei numeri) a Mersenne (1588-1648, frate dell’ordine dei Minimi, amico sia di Fermat che di Descartes) più di un secolo prima ed ancora insoluti: “Ogni intero positivo è la somma di tre numeri triangolari, quattro numeri quadrati, cinque numeri pentagonali, …”.

In seguito viene nominato professore di Fisica-Matematica al Collegio di Francia, al posto di Biot, dove tiene un ciclo di lezioni sul calcolo integrale, dando anche la definizione rigorosa di integrale. Infine diviene professore alla Sorbona, dove pubblica una vastissima produzione di opere scientifiche: nessuno prima di lui aveva mai avuto una produzione così feconda..

Il 4 aprile 1818, nella chiesa di S. Sulpicio a Parigi, sposa Aloise de Bure appartenente ad una famiglia di editori e da cui avrà due figlie.

Nel 1821 pubblica “Analyse Algebrique”, in cui pone le definizioni di limite, di funzione, di continuità e continuità come limite, di infinitesimo e di infinito che segnano la svolta nella direzione del rigore per tutta la matematica moderna. Tra il 1821 ed il 1825 pubblica grandi testi sulla teoria dell’elasticità, sull’integrazione complessa e sul calcolo dei residui.

Nel 1824, alla morte di Luigi XVIII ed alla salita al trono di Carlo X inizia una politica di repressione delle società massoniche come la Carboneria e la politica si fa più decisamente più dura. In questo periodo, Cauchy è il portavoce all’Accademia delle Scienze del pensiero contro-rivoluzionario, non esitando mai a denunciare la dottrine contrarie alla religione. Si attira così le ire dell’ambiente liberalmassonico universitario. Nel 1827 comincia la battaglia a favore della libertà d’insegnamento ed in difesa dei Gesuiti.

Nel 1830, dopo la Rivoluzione di Luglio che spodesta i Borboni, alla salita sul trono del re illegittimo Luigi Filippo d’Orleans, va in volontario esilio in Svizzera, dove avvia il progetto dell’Accademia Elvetica, che avrebbe dovuto accogliere tutti gli scienziati transfughi dalla Francia.

Sempre nel 1830, il Re di Sardegna Carlo Alberto di Savoia (1798-1849) lo chiama a riattivare la cattedra di Fisica Matematica all’università di Torino, che già in precedenze (con il nome di “Fisica Sublime”) fu del famoso e prestigioso Avogadro. Incarico che accetta con entusiasmo tanto da rispolverare in soli tre mesi l’italiano che aveva studiato anni prima per potere tenere i corsi nella lingua degli studenti. Ancora nel 1830, in italiano, scrive “Sui Metodi Analitici” per la Biblioteca Italiana.

Il 15 Gennaio 1832 incontra personalmente Carlo Alberto. Nel marzo del 1832 passa due settimane a Roma ed è ricevuto da Papa Gregorio XVI.

Nel 1833 viene chiamato a Praga da Carlo X di Borbone (1757-1836), anch’egli in esilio, per fare da precettore del nipote, il giovane duca di Borgogna.

In questo periodo di Praga sviluppa la definizione rigorosa di funzione continua, dopo averne accesamente discusso con il matematico e teologo Bernhard Bolzano (1781-1841).

In considerazione della sua fedeltà, Carlo X lo nomina barone.

Torna in Francia nel 1838, chiamato per riprendere il suo posto di Accademico di Francia, ma rinuncia all’insegnamento perché rifiuta di prestare giuramento al Re Luigi Filippo di Orleans (1773-1850) non riconoscendone la legittimità. Per coerenza personale, il più grande matematico vivente rimane così escluso dall’insegnamento per ben dieci anni.

Nel 1848, il governo repubblicano, nato dalla Rivoluzione di Febbraio, e poi Napoleone III (1808-1873) nel 1852 lo richiamano comunque all’insegnamento, benché Cauchy continui a rifiutare il giuramento.

Nel 1856, all’apice della notorietà, fa da relatore della tesi del Beato Francesco Faà di Bruno (1825-1888) che con lui si laurea e diviene il primo matematico cattolico i cui testi vengono adottati nelle facoltà di matematica dell’Inghilterra. Muore nel 1857 per una febbre contratta durante un viaggio.


[1] Il teorema di Binet:  il determinante del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei determinanti delle due matric.i

[2] Ecole des Ponts et Chausses.

[3] Più tardi, attorno agli anni 40, studierà anche l’ebraico per poter leggere le Scritture in lingua originale.

[4] Adrien-Marie Legendre 1752-1833, matematico nato a Tolosa ed insegnante all’Ecole militaire; famoso per i suoi studi sulla teoria dei numeri e sulle funzioni ellittiche, scrisse anche un trattato di geometria elementare che per decine d’anni fu utilizzato come testo nelle scuole medie.

[5] Etienne-Louis, Parigi, 1775-1812; matematico e fisico famoso per gli studi di ottica; scopritore del fenomeno della polarizzazione, di cui scrisse ampiamente: legge di Malus & teorema di Malus.

[6] 1746-1818; giacobino, già ministro della Marina e poi collaboratore di Napoleone; è l’inventore della geometria descrittiva.

[7] noto per il famoso teorema sui trinagoli, un po’ meno per essere fra i mandanti del genocidio vandeano



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